หนังสือเรียนคณิตศาสตร์มัธยมศึกษาตอนปลาย ภาคบังคับ ชุดที่ 1 (ฉบับ A): เริ่มต้นจากวงกลมหน่วย: การนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมใดๆ อย่างเป็นระบบและความสัมพันธ์พื้นฐาน

เริ่มจากการเรียนรู้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมแหลมในระดับมัธยมต้น (ด้านตรงข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก) เมื่อเราต้องจัดการกับมุมที่มากกว่า $90^\circ$ หรือมุมลบ สามเหลี่ยมมุมฉากทางเรขาคณิตจะไม่สามารถใช้งานได้อีกต่อไป ณ จุดนี้วงกลมหน่วยกลายเป็นเครื่องมือสำคัญในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติให้สม่ำเสมอสำหรับมุมทุกประเภท

1. นิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมใดๆ

กำหนดให้ $\alpha$ เป็นมุมใดๆ ซึ่งด้านปลายของมุมนี้ตัดกับวงกลมหน่วยที่จุด $P(x, y)$ แล้ว นิยามว่า:

ไซน์ (Sine): $\sin \alpha = y$
โคไซน์ (Cosine): $\cos \alpha = x$
แทนเจนต์ (Tangent): $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$

หากจุด $P(x, y)$ อยู่บนวงกลมที่มีรัศมี $r$ แล้ว $\sin \alpha = \frac{y}{r}, \cos \alpha = \frac{x}{r}, \tan \alpha = \frac{y}{x}$

2. ความสัมพันธ์พื้นฐานของมุมเดียวกัน

นำมาจากสมการของวงกลมหน่วย $x^2 + y^2 = 1$ โดยตรง:

1. ความสัมพันธ์กำลังสอง: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. ความสัมพันธ์ผลหาร: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

นอกจากนี้ ในคณิตศาสตร์ระดับสูง ฟังก์ชันตรีโกณมิติยังสามารถคำนวณประมาณค่าได้โดยใช้สูตรเทย์เลอร์เพื่อการคำนวณประมาณค่าเชิงตัวเลข เช่น: $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์เชิงลึกระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติกับพหุนามเชิงพีชคณิต

คำถามที่ 1

จงเขียนเซตของมุมที่มีด้านปลายเหมือนกับมุม $60^\circ$ และหาค่า $eta$ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข $-360^\circ \le \beta < 360^\circ$

เซต $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; ค่า $eta = 60^\circ, -300^\circ$

เซต $\{ \beta | \beta = k \cdot 180^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; ค่า $eta = 60^\circ$

เซต $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; ค่า $eta = 60^\circ, 420^\circ$

เซต $\{ \beta | \beta = 60^\circ \}$; ค่า $eta = 60^\circ$

คำถามที่ 2

ทราบว่า $\alpha$ เป็นมุมแหลม ดังนั้น $2\alpha$ คือ ( )

มุมในควอแดรนต์ที่หนึ่ง

มุมในควอแดรนต์ที่สอง

มุมบวกที่น้อยกว่า $180^\circ$

มุมในควอแดรนต์ที่หนึ่งหรือควอแดรนต์ที่สอง

คำถามที่ 3

ทราบว่าด้านปลายของมุม $\theta$ ผ่านจุด $P(-12, 5)$ จงหาค่า $\sin \theta$

$5/13$

$-12/13$

$-5/12$

$13/5$

คำถามที่ 4

(ตอบด้วยวาจา) กำหนดให้ $\alpha$ เป็นมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ฟังก์ชันใดใน $\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$ อาจมีค่าลบได้?

แค่ $\sin \alpha$ เท่านั้น

$\cos \alpha$ และ $\tan \alpha$

ทั้งสามอย่างอาจเป็นลบได้

แค่ $\tan \alpha$ เท่านั้น

คำถามที่ 5

ใช้วิธีห้าจุดวาดกราฟของ $y = -\sin x$ บนช่วง $[-\pi, \pi]$ จุดใดจุดหนึ่งต่อไปนี้ไม่ใช่จุดสำคัญ?

$(0, 0)$

(\pi/2, -1)

(\pi/4, -\sqrt{2}/2)

(\pi, 0)

คำถามที่ 6

ฟังก์ชันใดต่อไปนี้ทั้งเป็นฟังก์ชันคี่และมีคาบเท่ากับ $\pi$?

$y = \sin 2x$

$y = 1 - \cos x$

$y = \sin x \cos x$

$y = \tan x$

คำถามที่ 7

ไม่ต้องคำนวณค่า จงเปรียบเทียบขนาดของ $\cos \frac{2\pi}{7}$ กับ $\cos(-\frac{3\pi}{5})$

$\cos \frac{2\pi}{7} > \cos(-\frac{3\pi}{5})$

$\cos \frac{2\pi}{7} < \cos(-\frac{3\pi}{5})$

เท่ากัน

เปรียบเทียบไม่ได้

คำถามที่ 8

ทราบว่าฟังก์ชัน $f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ มีคาบที่น้อยที่สุดคือ ( )

$\pi$

$2\pi$

$\pi/2$

$4\pi$

คำถามที่ 9

จงหาค่าของ $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$

$1/4$

$1/2$

$\sqrt{3}/4$

$1/8$

คำถามที่ 10

ทราบว่า $\sin \beta + \cos \beta = 1/5, \beta \in (0, \pi)$ จงหาค่า $\tan \beta$ คือ ( )

$-4/3$

$3/4$

$-3/4$

$4/3$

ท้าทาย: การสร้างแบบจำลองตรีโกณมิติของกงล้อหมุน

การวิเคราะห์ปรากฏการณ์เชิงคาบจริง

กงล้อหมุนหนึ่งตัวมีจุดสูงสุดห่างจากพื้นดิน 120 เมตร จุดต่ำสุดห่างจากพื้นดิน 10 เมตร และใช้เวลา 30 นาทีในการหมุนรอบครบหนึ่งรอบ สมมุติว่ากงล้อหมุนด้วยความเร็วคงที่ ผู้โดยสารเริ่มต้นนับเวลาตั้งแต่เข้าไปในรถโดยสารที่จุดต่ำสุด

คำถามที่ 1

จงหาสูตรฟังก์ชันที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างความสูง $h$ (เมตร) ของผู้โดยสารจากพื้นดินกับเวลา $t$ (นาที)

คำอธิบายอย่างละเอียด:
1. แอมพลิจูด $A$: รัศมีเท่ากับ $(120 - 10) / 2 = 55$ เมตร
2. การเปลี่ยนตำแหน่งแนวตั้ง $k$: ความสูงศูนย์กลางเท่ากับ $(120 + 10) / 2 = 65$ เมตร
3. ความเร็วเชิงมุม $\omega$: คาบ $T=30$ ดังนั้น $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$
4. เฟส $\phi$: เมื่อ $t=0$ อยู่ที่จุดต่ำสุด $h=10$ กำหนด $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$ เมื่อ $t=0$ จะได้ $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$
สูตรวิเคราะห์: $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ หรือ $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$

คำถามที่ 2

หลังจากผู้โดยสารเริ่มหมุนไปแล้ว 5 นาที ระยะห่างจากพื้นดินเป็นเท่าใด?

คำอธิบายอย่างละเอียด:
แทนค่า $t=5$ ลงในสูตร:
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$ เมตร
สรุป: ความสูงคือ 37.5 เมตร

คำถามที่ 3

หากตู้โดยสารหมุนด้วยความเร็วคงที่ หลังจากผ่านครึ่งคาบ ตำแหน่งการเปลี่ยนแปลงของตู้โดยสารในภาพฉายบนวงกลมหน่วยจะแสดงออกอย่างไร?

คำอธิบายอย่างละเอียด:
หลังจากครึ่งคาบ (15 นาที) มุมเพิ่มขึ้น $\pi$ เรเดียน บนวงกลมหน่วย หมายความว่าจุด $P(x, y)$ หมุนไปยังจุดสมมาตรกับจุดกำเนิดคือ $P'(-x, -y)$ บนฟังก์ชันตรีโกณมิติแสดงเป็นสูตรลดรูป $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$ ดังนั้น หากเดิมอยู่ที่จุดต่ำสุด หลังครึ่งคาบจะต้องอยู่ที่จุดสูงสุด

จุดสำคัญหลัก

บนวงกลมหน่วยดูพิกัด၊$y$ คือไซน์ $x$ คือโคไซน์។บวกกำลังสองเท่ากับหนึ่งเสมอ၊อัตราส่วนแทนเจนต์คงอยู่ตลอดกาล!

💡 พิกัดคือค่าฟังก์ชัน

จำไว้ว่า 'วงกลมหน่วย' เป็นหัวใจสำคัญ ค่าพิกัดแนวนอน $x$ ของจุดตัดระหว่างด้านปลายกับวงกลมหน่วยคือ $\cos \alpha$ ค่าพิกัดแนวตั้ง $y$ คือ $\sin \alpha$

💡 สูตรจำเครื่องหมายของควอแดรนต์

‘หนึ่งทั้งหมดเป็นบวก สองไซน์ สามแทนเจนต์ สี่โคไซน์’ ซึ่งกำหนดว่าคุณควรเลือกเครื่องหมายบวกหรือลบเมื่อทำรายการหาราก

💡 โดเมนของแทนเจนต์

เพราะ $\tan \alpha = y/x$ เมื่อด้านปลายอยู่บนแกน $y$ (นั่นคือ $\alpha = k\pi + \pi/2$) จะได้ $x=0$ จึงไม่มีค่าแทนเจนต์

💡 คำเตือนการใช้หน่วยเรเดียน

เมื่อใช้สูตรเทย์เลอร์ หรือโมเดลคาบทางฟิสิกส์ ($T=2\pi/\omega$) มุมต้องใช้หน่วยเรเดียน

💡 วิธีวาดกราฟด้วยจุดห้าจุด

เมื่อวาดกราฟไซน์และโคไซน์ จงระบุจุดตัดแกนสามจุดและจุดสูงสุดต่ำสุดสองจุด แล้วเชื่อมด้วยเส้นโค้งมนแบบคลื่น